casos del factoreo

CASO 1 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN

(Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

7x² + 11x³- 4x⁵ + 3x⁴- x⁸= x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)

El factor común es x².: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

9x³- 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 3x^2.(3x - 2 + 4x³ - 6x⁵)

9x²ab - 3xa²b³+ x²az = xa. (9xb - 3ab² + xz)

36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ = 12x³. (3x - 16x³ - 6 + 5x²)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x² = (x + 1). (3 - 5x + x²)

4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵ = 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶- x⁴)

12x² + 18x³- 24x⁵ + 30x⁴- 6x⁸= 6x². (2 + 3x - 4x³ + 5x² - x⁶)

CONCEPTO:

Número entero que divide exactamente a dos o más números dados sin dejar un residuo. Por ejemplo, tanto 3 como 6 son factores comunes de 6, 12 y 18. Ya que 6 es el número mayor que divide exactamente a los tres, se denomina máximo factor común (MFC)

VIDEO:

EJERCICIOS POR RESOLVER:

1.-7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴ - x⁸

^2.-9x³ - 6x² + 12x⁵ - 18x⁷

^3.-8a - 4b + 16c + 12d

4.-9x²ab - 3xa²b³ + x²az

5.-36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵

^IMAGENES:

VIDEO POR EL METODO ASPA:

CASO 2 DE FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN EN GRUPOS

4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =

(4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos.

CONCEPTO:

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-a2 + ab= a(a+b)
2.-b+b2= b(1+b)
3.-x2+x: x(x+1)
4.-3a2-a2= a2(3a-1)
5.-x3-4x4: x3(1-4x)
IMAGENES:

VIDEO:

VIDEO POR EL METODO ASPA:

CASO 3 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3

2.3.x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x²y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dio igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)²

x2 - 10x + 25 = (x - 5)2

x (-5)

2.(-5).x

-10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto da bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)2.

CONCEPTO:
Un trinomio cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-x² + 2x + 1
2.-x² +   8/3 x + 16/9
3.-x²   - 10x   +   25
4.- x     +     x²   +    1/4
5.-9x² + 30x + 25
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 4 DE FACTORIZACIÓN CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

(Todos los términos son positivos)

x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)3

x 2

3.x².2 3.x.2²

6x² 12x

Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x). El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

(Con términos negativos)

x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3

x -3

3.x2.(-3) 3.x.(-3)2

-9x2 27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan bien. El resultado es (x + (-3))³^, que es igual a (x - 3)³

CONCEPTO:Este método se utiliza cuando se tiene…., a ver, seguro que lo sabes….; exacto, cuando se tiene un polinomio con cuatro términos.

Si en el caso anterior teníamos un trinomio que igualábamos aun binomio elevado al cuadrado; en este caso tendremos un cuatrinomio que igualaremos a un binomio elevado al cubo. Y para lograrlo debemos verificar que dicho cuatrinomio es el desarrollo de la fórmula del cubo de un binomio.

EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-x³   +   6x²   +   12x   +   8
2.-x³   -   9x²   +   27x   -   27
3.--x³    -    75x    -    15x²    -    125
4.-x³   +   3/2 x²   +   3/4 x   +   1/8
5.-64x³ + 144x² + 108x + 27
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 5 DE FACTORIZACIÓN DIFERENCIA DE CUADRADOS

(Fácil)

x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

(Con potencias distintas de 2)

x⁶ - 4 = (x³+ 2).(x³ - 2)

x³ 2

x⁶ es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

(Con términos "compuestos")

36x² - a6b⁴= (6x + a³b²).(6x - a³b²)

6x a³b²

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

x² - y² = (x + y).(x - y)

b² - 1 = (b + 1).(b - 1)

x² - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x⁶ - 4 = (x³ + 2).(x³ - 2)

25 – 36m⁴ (5 + 6m²) (5 – 6m²)

100 – m²n⁶ (10 + mn³) (10 – mn³)

X²Y⁴Z⁶ – 144 = ( XY²Z³ + 12) ( XY²Z³ - 12)

CONCEPTO:
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-x² - 9
2.-x² - y²
3.-b² - 1
4.-x² - 9/25
5.-x⁶ - 4
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 6 DE FACTORIZACIÓN SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

(Suma de Potencias Impares)

x⁵ + 32 = (x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

x 2

Cociente: x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.

Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.

Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios

(Resta de Potencias Impares)

x³ - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x 2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

CONCEPTO:
Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia, siendo la forma que tienen estos polinomios la siguiente
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-x⁵ + 32
2.-x³ - 8
3.-b⁴ - 81
4.-x⁴ + 16
5.-x⁷ + 1
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 7 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO X² + B + C

x² + 3x + 2 =

Abres dos paréntesis ( ) donde va la X en cada uno ya que esta elevada al cuadrado

(x ).(x )

Los signos los obtienes asi:

x² + 3x + 2 =

+ por +

(x + ).(x + )

Buscar dos números positivos que multiplicados den 2 y sumados den 3.

Sacas el mínimo común múltiplo de 2 2

Obtienes como resultado el 2 que multiplicado por 1 = a 2 y sumados 2+1= 3

(x + 1).(x + 2) Esta es la factorización de x² + 3x + 2 =

Otro ejemplo:

X⁶ — 13X³ + 42

Tienes X⁶ que se puede factorizar como X³y X³

(X³ ) ( X³ )

Buscamos los signos que llevan dentro del paréntesis

X⁶ — 13X³ + 42

Más por menos = a menos

(X³ — ) ( X³ )

X⁶ — 13X³ + 42

Menos por más = a menos

(X³ — ) ( X³ — )

Buscamos dos números negativos que multiplicados den 42 y sumados de 13

42 2

21 3

7 7

2 * 3 = 6 y —6 * — 7 = 42 (menos por menos da más) y (—6) + (— 7) = — 13

El resultado de factorizar mi trinomio X⁶ — 13X³ + 42 = es (X³ — 6 ) * ( X³ — 7 )
CONCEPTO:
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
-Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (coeficiente).
-Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

-Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-X² - 6X - 40
2.-X² + 4X + 3
3.-X² - X - 6
4.-X² - 9X + 8
5.- x²+ 5x + 6
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 8 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO AX² + B + C

6X² — 10X + 4

(Sacas el número que tienes en tu primer término, en este caso es el 6, pones entre paréntesis toda tu ecuación y divides todo entre el número que sacaste, en este caso es 6, todo para establecer una igualdad y que no modifiques nada)

6X² — 10X + 4

6 (6X² — 10X + 4)

(Amplificas tu ecuación multiplicando el 6 que tienes afuera por toda la ecuación, solo que en el segundo término, para ahorrar un paso, dejas tus números en este caso 10X y el 6 lo encierras en un paréntesis, queda el segundo termino así; 10X (6). Todo dividido entre 6)

36X² — 10X(6) + 24

Factorizar esta ecuación. 6 por 6 = 36, abres dos paréntesis

36X² — 10X(6) + 24

(6X ) (6X )

Buscas los signos que deben de llevar:

36X² — 10X(6) + 24 36X2 — 10X(6) — 10X(6) + 24

Más por menos da menos (menos por mas da menos)

(6X — ) * (6X — )

6 Todo entre 6, que no se te olvide.

Buscamos dos números que multiplicados nos den 24 y sumados nos den 10

mcm. de 24

24 2

12 2

6 2

3 3

2 por 2 por 2 = 8 y 8 por 3 = 24 pero sumados 2+2+2+3= 9 estos números no nos sirven. Vamos a volver a buscar nuestro mcm de 24.

24 4

6 6

Correcto: (—6) * (—4)= 24 menos por menos da más y (—6) + (—4) = — 10

(6X — 6 ) * (6X — 4 )

Vamos a eliminar el 6 que están dividiendo por medio de factorizar nuestros términos que tenemos en el paréntesis,

(6X — 6 ) * (6X — 4 )

3(2X — 2) * 2(3X — 2)

3 por 2 = 6

3(2X — 2) * 2(3X — 2)

Al quedar eliminado el 6 que dividía, nuestra solución final es:

(2X — 2) (3X — 2)

Listo

6x² — 11xa — 10a²

Comprobación

(2x — 5a) (3x + 2a)

6x²+ 4xa — 15xa — 10a²

6x2 — 11xa — 10a²

La respuesta correcta es B)

CONCEPTO:
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (Trinomio) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-6x² - 7x - 3
2.-15a²-8a-12
3.-10m²-m-21
4.-12m²-25m+12
5.-20x²+x-1
IMAGENES:

VIDEO:

CASO 9 DE FACTOREO CON GAUSS

(Con coeficiente principal distinto de 1)

2x³ - 3x² - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6

Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio: k/a

Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),

(x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),

(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.

Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:

| 2 -3 -11 6

-2| -4 14 -6

2 -7 3 | 0

Cociente: 2x2 - 7x + 3 Resto: 0

Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).

En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x² - 7x + 3 =

Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2

Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:

| 2 -7 3

3| 6 -3

2 -1 | 0

Cociente: (2x - 1) Resto: 0

Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factorizan usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)

Estos casos son más difíciles de presentar. Estúdialos y practícalos, solo así los dominaras.

(3a-4b)(3a+4b)=

9a² – 16b²

^{25a4 — 30a2b + 9b2}

El primer y tercer términos tiene que tener raíz cuadrada perfecta. 25a⁴ su raíz cuadrada es 5a²; 9b² su raíz cuadrada es 3b. El segundo termino tiene que ser el doble producto de multiplicar las raíces cuadradas obtenidas (5a²) (3b) por 2 = 30 a²b

Este es el resultado (5a² – 3b)²

5x - 3x = 2x

= 5x

Les restas 3x

= 2x

Esto es lo que sombreas

¿Cuál es el duplo de un número aumentado en dos?

Ejemplo: 0,8

Desarrollo

a) El número buscado es : ( n )

b) Planteamiento : .... "el duplo de un número aumentado en dos unidades como 4 es a 7 "

.............. ......... 2 n ...... 4

................ .... -------- = ----

.............. ........n + 2 ......7

c) Multiplicando en cruz:

............... ........ 14 n = 4 n + 8

............... ........ 10 n = 8

.......... ...... .......... ....... 8

.............. .............. .n = -----

............ .............. ......... 10

.............. .............. .n = 0,8 RESPUESTA

CONCEPTO:
Este teorema nos parece conveniente explicarlo a través de un ejemplo, ya que el teorema enunciado en forma general nos parece demasiado complicado para que los alumnos puedan entenderlo
EJERCICIOS POR RESOLVER:
1.-2x³ - 3x² - 11x + 6
2.-x⁴ - 15x² + 10x + 24

IMAGENES:

VIDEO:

factorizacion caso 10

➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³

Suma de Cubos:
============

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]

Diferencia de Cubos:
==============

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

casos del factoreo

miércoles, 18 de junio de 2014

10 casos del factoreo

factorizacion caso 10